一、几类含双实参数的二阶非齐次微分方程解的探讨（论文文献综述）
李晓婉[1]（2021）在《几类非线性波型方程的定性分析》文中提出波方程是一类重要的微分方程,用于描述自然界中的各种波动现象,例如声波、光波、电磁波和水波等.本文主要对几类非线性波型方程,包括Camass-Holm方程,Schr（?）dinger方程及相关方程组进行定性分析,研究其行波解的存在性、解的适定性和波裂现象等.首先,考虑Camassa-Holm-Kadomtsev-Petviashvili（Camassa-Holm-KP）方程的孤波解.通过相空间分析方法,给出了无时滞情形Camassa-Holm-KP方程平衡点的基本性质,得到了孤波解的存在性.进而,通过发展几何奇异摄动理论,证明了时滞情形Camassa-Holm-KP方程孤波解的存在性.同时,通过分析Abel积分的比值得到了非线性强度为1的时滞Camassa-Holm-KP方程波速的单调性结果.然后,考虑耦合Schr（?）dinger方程组的孤波解.对于无时滞情形,利用常微分方程方法,给出了三类特殊的孤波解.在此基础上,进一步考虑相应的时滞系统,结合不变流形理论和Fredholm理论,构造了时滞系统的不变流形,得到了相应的同宿轨道,进而建立了时滞耦合Schr（?）dinger方程组孤波解的存在性结果.最后,考虑两组分Camassa-Holm系统和相应修正系统的局部适定性与波裂现象.利用Kato定理,分别建立了两类系统解的局部适定性,并给出了波裂产生的条件。
尹保利[2]（2021）在《CQ/SCQ差分公式构造及其在分数阶微积分方程数值求解中的应用》文中认为分数阶导数与传统整数阶导数具有几乎同样古老的历史.分数阶微积分算子因其定义本身具有非局部性以及可能包含奇异卷积核,因而特别适用于描述反常扩散过程,并已成功应用于许多科学领域,如粘弹性力学、量子力学、电磁学、非牛顿流体力学、经济学、生物医学等.鉴于分数阶微积分模型在上述领域中的成功应用,求解该类模型变得尤为重要.但是,精确求解分数阶微积分模型有很大的困难,而且其解析解中一般含有难于计算的特殊函数,如MittagLeffler函数、H-函数等.因此,构建高效的数值方法成为模拟分数阶微积分模型的重要手段.本文主要考虑具有奇异核的微积分算子,并从三个方面展开研究:·在第二章中,我们基于Convolution quadrature（CQ）理论设计并论证了两族含有自由参数?的二阶分数阶逼近公式:BT-?和BN-?.同时,通过分析截断误差系数对参数?的依赖关系以及两族方法A-稳定的相关性质,进一步指出我们的方法相较于传统方法的优势,并通过数值算例进行校验.另外,我们把这两族方法应用于时间分数阶电缆方程,通过研究离散系数的相关性质,证明离散格式的无条件稳定性,进而在解满足一定正则性条件下给出了最优误差估计.·考虑到分布阶模型在模拟极慢扩散问题中的优势,我们在第三章把CQ中离散分数阶微积分的思想应用于分布阶微积分的数值离散过程,得到区别于文献中常使用的离散手段.在解满足一定条件的假设下,我们给出相应的截断误差估计,同时将CQ理论中的修正技术推广应用在分布阶模型的数值求解中.此外,我们还考虑了一类最简单的分布阶微分方程的解的结构,指出其与传统分数阶问题的解的异同.这一结果对于后续分布阶逼近公式的设计和误差分析具有一定的参考意义.·由于CQ理论仅研究在整结点处离散分数阶微积分的差分公式的基本特征,我们在第四章至第六章中通过引入位移参数θ,研究在任意位移点处离散第五章里我们设计并分析了三类二阶含有位移参数的逼近公式,并分别应用于分数阶移动/非移动输运方程、双侧空间分数阶对流扩散方程和多项时间分数阶反应扩散波方程,同时给出数值分析和数值模拟;在第六章中,我们针对一类方法,即位移分数阶梯形公式（SFTR）展开进一步研究,构造了针对（a）高维非线性空间分数阶薛定谔方程的快速保结构有限差分方法,（b）含有非光滑解的亚扩散问题的快速算法,以及分析了（c）时间分数阶麦克斯韦方程离散能量的衰减律.
杨录峰[3]（2021）在《几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究》文中指出谱方法因其具有谱精度,被广泛的用于各种问题的数值求解之中,但对于奇异摄动问题,经典谱方法需要大量节点才能刻画边界层的变化规律,得到高精度的数值解.为了改善奇异摄动问题数值模拟的效率,一部分学者从减轻问题的奇异性出发,将问题的解分解为正则分量和奇异分量分别求解;另一部分致力于改进数值方法,使网格节点更多的向边界层聚集,以适应奇异摄动问题求解的需要.本文结合这两类处理方法的优点,提出了基于奇异分离技术的谱方法.第一章介绍了奇异摄动问题的研究背景、研究进展以及本文的研究问题和主要工作.第二章考虑二阶奇异摄动问题,首先利用渐近展开理论结果预先确定边界层的位置和宽度,即确定sinh变换的参数,使Chebyshev-Gauss-Lobatto节点向边界层聚集,然后利用奇异分离技术将奇异摄动问题分解为弱奇异辅助边值问题和确定边界层校正函数的问题.利用含sinh变换的有理谱方法求解弱奇异摄动边值问题,得到解的正则分量,利用边界条件和问题的特征值,显式确定奇异校正函数,并给出了误差估计式.对于变系数问题,利用奇异摄动分离构造校正函数,然后利用谱方法求解正则分量及奇异分量的待定参数,进而组合得到原问题的数值解,最后通过数值实验,验证理论结果.第三章考虑二阶奇异摄动方程组问题,利用基于奇异分离技术的有理谱方法分别求解弱耦合反应扩散问题和强耦合对流扩散问题,分别推导并证明了通解表达式,然后应用有理谱方法求解弱奇异摄动问题确定原问题的一个特解,并利用边界条件确定了奇异校正函数的显式表达式,并证明了该方法当很小时几乎达到谱精度.对于变系数奇异摄动方程组,我们同样利用系数矩阵的特征值和相应的特征向量构造校正函数刻画奇异分量,然后利用谱方法求解弱奇异方程组,得到正则分量与奇异分量的参数,组合奇异分量与正则分量得到问题的解.最后利用数值算例验证了理论分析的结果.第四章考虑含不连续源项或界面条件的奇异摄动问题的数值模拟.将整个区间上的奇异摄动问题分解为左、右子问题,然后对每个子问题采用有理谱方法求解弱奇异性问题确定正则分量,利用边界条件和界面条件确定奇异校正函数的参数,最后利用缝接法得到原问题的解.数值实验验证了该方法能够高精度的求解此类问题.第五章对于抛物型奇异摄动问题和时间分数阶奇异摄动问题.利用Laplace变换法将非定常微分方程变换为频域上的关于空间变量的常微分方程边值问题,然后利用基于奇异分离技术的谱方法求解含参数的奇异摄动边值问题,利用最后利用Talbot方法,数值求解逆Laplace变换得到原问题的数值解.Laplace变换的使用规避了时间演进中对时间步长的限制要求.数值实验验证该方法具有高精度.
史小燕[4]（2020）在《两类非线性微分方程解的多重性研究》文中研究表明本学位论文主要运用变分方法和不同类型的临界点定理,分别探讨了一类含p-Laplacian算子的非齐次Choquard方程和一类具有两个参数的扰动分数阶微分系统解的存在性和多重性,得到了一些新的结果.全文共由四章组成,具体安排为:第一章介绍了论文选题的研究背景和研究意义,阐述了研究方向的发展现状以及给出了与本文相关的预备理论知识,同时简述了本文的主要工作.第二章讨论了一类含p-Laplacian算子的非齐次Choquard方程解的多重性问题.当位势函数V（x）及扰动项g（x）满足适当条件时,利用Nehari流形、Minimax方法和Ekeland变分原理证明了该非齐次Choquard方程至少存在两个非平凡解.所获得的多重解结论改进和推广了相关文献的结果.第三章研究了一类含两个参数且满足Dirichlet边值条件的非线性分数阶微分系统.当非线性项uF和vF的原函数F在原点附近满足次二次性和在无穷远处满足渐近二次性增长条件,且非线性项uG和vG的原函数G满足一般的增长性条件以及扰动函数满足Lipschitz条件时,利用变分方法并结合Ricceri三临界点定理证明了该系统至少存在三个弱解,同时给出了两个数值实例验证了所得主要结果的有效性.在第四章中总结了本文的主要研究内容、研究方法以及研究结果,同时对今后的研究内容进行了简要的展望.
李文赫[5]（2020）在《求解几类非线性发展方程的试探方程法》文中研究指明作为连接数学理论与实际应用的桥梁,以物理、力学问题为背景的非线性发展方程的研究不仅是传统应用数学的主要内容,也是现代数学的重要组成部分。与线性方程相比较,非线性在数学研究上带来实质性的困难。因此,研究非线性发展方程是一项具有挑战性的工作,特别是求非线性发展方程的精确解一直是研究的热点。目前虽然已经提出并发展了许多方法来精确求解非线性发展方程,如逆散射方法、Backlund变换方法、李群方法、以及一些直接代数方法（如Hirota双线性法、混合指数法、齐次平衡法、双曲函数展开法、Jacobi椭圆函数展开法）等,但是仍有大量的具有实际背景的非线性发展方程,需要新的方法才能求解出其精确解。本文的主要工作是利用和发展试探方程法,并运用到物理学和力学中的五类常见的非线性发展方程,求得了一系列精确解,并刻画了这些物理问题的丰富的波传播模式。主要包括以下三部分内容:首先,将传统的试探方程法推广为复试探方程法,并以此研究了两类非线性Schr（?）dinger方程,分别是带二次-三次非线性项的Schr（?）dinger方程和带非局部抛物律的Schr（?）dinger方程。对于第一个模型得到了其光孤子解、不连续周期解、奇异有理函数解、指数函数解及Jacobi椭圆函数解等七种形式的精确解,其中包括三个目前用其他方法尚未得到的新解。对于第二个模型构造了其丰富的精确包络行波解,得到了光波在非局部抛物律介质中的传播表现为孤子行为和周期模式,根据不同的参数的选择,确定了相应的光波传播模式。其次,将传统的试探方程法推广为耦合试探方程法,并以此研究了两类浅水波运动方程组,分别是耦合Kaup-Boussinesq方程组和耦合Kaup-Boussinesq II方程组。对于第一个方程组,利用五阶多项式判别系统,得到了其十三组精确的单行波解,对于第二个方程组利用四阶多项式判别系统,得到了其六组精确的单行波解。特别地,当波传播速度为一个特殊的常数时,两类方程组均具有周期解,显示了该系统的周期动力学行为。最后,将传统的试探方程法推广为变系数试探方程法。研究了变系数广义Kd V-m Kd V组合方程,分别考虑了当自由参数取1,-1/2和2时的三种情形,对于自由参数取1的情形,利用四阶多项式完全判别系统对其解进行了分类;对于自由参数取-1/2的情形,原方程可转化为有理形式的因子方程,然后利用四阶多项式完全判别系统对其解进行了分类;对于自由参数取2的情形,其因子方程解的分类可转化为六阶多项式的判别系统,从而求出原方程的精确解。
彭卫琪[6]（2020）在《几类非线性发展方程的Riemann-Hilbert问题及其解析解的特征研究》文中进行了进一步梳理众所周知,对于一些现实生活中的物理现象以及工程上的一些应用,我们都可以用非线性发展方程来加以描述。本文我们主要采用Darboux变换方法、Hirota双线性等方法分析几类非线性发展方程的孤子解、呼吸波解和怪波解等非线性波解。同时讨论了Riemann-Hilbert方法在可积系统领域中的应用,包括求解非线性薛定谔方程的多孤子解及解的长时间渐近行为。本文第一章我们主要介绍了孤立子理论、非线性微分方程的相关求解方法、Riemann-Hilbert方法在可积系统初值问题应用方面的历史发展及国内外研究现状。在第二章,我们考虑了对称的（2+1）维非局域非线性薛定谔方程、广义（2+1）维Nizhnik-Novikov-Veselov（NNV）方程、（3+1）维Boiti-Leon-MannaPempinelli（BLMP）方程。通过发展Hirota双线性方法,我们首次导出了这些方程的孤子解;紧接着对得到的孤子解进行长波极限展开,构造了它们有理解和半有理解。此外,我们使用相关数学软件模拟并分析了相关解的物理现象。在第三章,通过推广Darboux变换,我们首次研究了具有非线性交替符号的耦合薛定谔方程的呼吸波解和高阶怪波解。通过调整谱参数,我们得到时间周期呼吸波和空间周期呼吸波。怪波解包括亮单峰双谷怪波和亮无谷怪波。此外,我们成功地展示了二阶怪波的不同类型分布。怪波的存在条件也被讨论。对于具有非线性交替符号的耦合薛定谔方程,我们得到一个有趣规律即在基带调制不稳定性存在的情况下,存在怪波解。最后我们还通过广义Darboux变换,研究了一个高阶耦合非线性薛定谔方程的呼吸波和怪波。在第四章,Hirota方程的dn-周期怪波解被首次研究。我们以雅可比椭圆函数dn作为种子解,有趣的是该种子解在长波扰动下呈现调制不稳定。通过对Hirota方程的Lax对进行非线性化,成功地得到了相应的周期特征函数。基于这些周期特征函数,我们进一步构造了Lax对方程的解。再基于Hirota方程的Darboux变换表示,我们最终成功地获得了方程周期波背景下的怪波解。在第五章,我们研究了可积三分量耦合非线性薛定谔方程。通过发展Riemann-Hilbert方法,首次分析了三分量耦合非线性薛定谔方程的正散射和逆散射问题,并成功导出了该方程的多孤子解。此外我们还通过图像模拟讨论了这些孤子的动力学行为。尤其在对二孤子的碰撞行为进行分析时,我们发现了一种新的双孤子碰撞现象,这在可积系统中是很少见的。在第六章,我们扩展了一个3×3矩阵值Riemann-Hilbert问题,成功解决了耦合的三五阶非线性薛定谔方程的初值问题。通过得到的3×3 Riemann-Hilbert问题的唯一解来表示耦合的三五阶非线性薛定谔方程的解,再根据Deift和Zhou开创的非线性最速下降方法,我们首次推导了纯反射情况下三五阶非线性薛定谔方程的显式长时间渐近行为。第七章我们基于双线性方法讨论了（2+1）维B-type Kadomtsev-Petviashvili（BKP）方程,首次构造了该方程的广义lump解、lumpoff解以及特殊的怪波解,并指出该怪波具有可预测性,这是一个新的且十分有趣的现象。接着借助扩展的同宿测试方法,我们研究了广义（2+1）维Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada（CDGKS）方程的呼吸波、怪波。最后,结合待定系数法和符号计算的手段,我们成功的导出了带高阶奇偶项的非线性薛定谔方程的亮暗光孤子解。这些非线性波的传播特性也通过现代科学软件进行了模拟。本文最后一章做了全文总结及对未来研究工作的一些展望。
黄开银[7]（2019）在《微分Galois理论与非线性动力系统的不可积性》文中指出十九世纪80年代末,Picard和Vessiot将代数方程的Galois理论推广到齐次线性微分方程组,建立了微分Galois理论.上世纪九十年代,Morales-Ruiz和Ramis等人结合微分Galois理论和Ziglin理论,建立了解析哈密顿系统不可积性的判定准则,并取得了一系列的重要成果.在这篇论文中,我们将利用微分Galois理论研究非线性动力系统的可积性与不可积性,尝试探讨系统的不可积性与混沌等复杂行为,系统的可积性与弱Painlev′e性质之间的关系.全文共分五章,第二,三,四,五章为主要工作.第二章,我们分别在概率1和期望不变意义下引入随机微分方程局部首次积分的定义,给出了它们的代数刻画.同时,我们将关于常微分方程经典的Poincar′e不可积定理推广到随机微分方程,利用共振条件分别给出了随机微分方程存在局部强、弱首次积分的必要条件.最后,我们将所得结果应用于随机Sharma-Parthasarathy两体方程等模型.第三章,我们应用微分Galois理论等方法研究数学物理中几类三维系统的可积性与不可积性,包括Lorenz系统,Shimizu-Morioka系统以及广义Rikitake系统.我们的结果表明对参数几乎所有的取值这些系统都是不可积的.对Lorenz系统（?）当（?）时,Lorenz系统存在两个函数独立的积分[J.Phys.A.38（2005）2681–2686];当α=0时,我们给出了Lorenz系统不存在亚纯首次积分的充分条件;当（?）且（?）时,我们证明了Lorenz系统形式首次积分的存在性.对Shimizu-Morioka系统（?）当（?）时,我们证明Shimizu-Morioka系统是Rucklidge系统的一种特殊情形,并利用Rucklidge系统的相应结果讨论了Shimizu-Morioka系统的达布可积性.当（?）时,我们利用代数几何中的Gr?bner基研究了Shimizu-Morioka系统的达布可积性,找到了所有次数不超过三次的不变代数曲面和指数因子.当（?）时,通过分析变分方程的微分Galois群的性质,我们证明了Shimizu-Morioka系统对参数几乎所有的取值在广义刘维尔意义下都不是有理可积的;当（?）时,我们利用Kowalevski指数证明了Shimizu-Morioka系统不是代数可积的.对广义Rikitake系统（?）我们给出了其在可积情形下的一族可积变形并且证明了其具有无穷多的哈密顿-泊松实现和双哈密顿结构.在一般情形下,给出了广义Rikitake系统不可积的充分条件,并讨论了解析首次积分的不存在性.第四章,我们首先利用Kowalevski指数给出了拟齐次系统是完全可积的一些必要条件.作为应用,我们证明了如果-1是Kowalevski矩阵的简单根,那么多项式微分系统的代数可积性蕴含了弱Painlev′e性质,这部分地解决了Goriely提出的猜想[J.Math.Phys.37（1996）,1871-1893].其次,我们考虑了齐次牛顿系统在广义刘维尔意义下的可积性.通过分析沿尺度不变特解的变分方程的微分Galois群的性质,证明了如果齐次牛顿系统在广义刘维尔意义下是亚纯可积的,那么所有可能的Kowalevski指数都必须是有理数.第五章,我们探讨保守系统的部分可积性和变分方程的Galois群结构之间的关系,证明了如果9)-维保守系统具有9)-2个函数独立的亚纯首次积分,那么沿特解的法向变分方程的微分Galois群的单位分支是可交换的,沿特解的变分方程的微分Galois群的单位分支是可解的.利用该结果,我们证明了描述有限深度流体中孤立波维特级数解的五维Karabut系统有且仅有两个函数独立的多项式首次积分,从部分可积性的角度改进了文献[Nonlinear Anal.32（2016）91–97]中的结果。
张慧[8]（2019）在《分数阶偏微分方程的谱方法及其应用》文中提出近几十年来,分数阶微积分理论作为一种新颖的数学工具,被广泛的应用于物理、化学、生物、金融、工程等诸多领域,分数阶模型对复杂环境中所涉及的记忆性、遗传性、非局部性、路径依赖性提供更为深刻全面的阐释。但是分数阶算子的复杂性和非局部性给分数阶模型的求解带来了诸多的困难,利用数值方法对分数阶模型进行求解日趋成熟。已经有很多学者对分数阶模型的数值求解进行了研究。谱方法作为一种求解偏微分方程的数值方法,具有高效高精度的特点,但由于谱方法对基函数和初边值条件的要求的特殊性,目前用谱方法解决分数阶偏微分方程的研究还相对较少。此外,整数阶模型的参数估计问题研究已经相对成熟,但分数阶模型还缺乏相对可行的参数估计的方法。本文主要研究几类分数阶偏微分方程的谱方法和参数估计问题以及相关的应用。本文中针对一维时间-空间分数阶Fokker-Planc.k方程,我们提出了时空谱方法进行求解,并给出了稳定性和收敛性分析,此外,我们用Levenberg-Marquardt（L-M）方法对方程进行参数估计研究。其次,对于二维Riesz空间分布阶对流扩散方程,我们提出了精度高于中点公式的高斯求积公式,利用该公式对空间分布导数进行离散,通过Crank-Nicolson交替方向Legendre谱方法得到其数值解,并证明了半离散格式和全离散格式的稳定性和收敛性。第三,我们研究了一维非线性耦合的空间分数阶薛定愕方程,利用Legendre谱方法得到数值解,给出相关的理论分析,并在正问题数值解的基础上,率先采用贝叶斯方法对方程中的相关参数进行了估计。第四,对于一维时间分数阶Boussinesq方程,我们给出了Fourier谱方法进行逼近,证明了数值方法的稳定性和收敛性。第五,对于高维的非线性偏微分方程,在理论分析中会出现时间步长的限制条件,针对这个问题,我们研究了二维的非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的谱方法,基于误差分裂方法得到了无时间步长限制条件的误差估计,并提出了一种新的快速计算方法来降低存储空间和计算时间,利用修正方法来处理方程不光滑解的情形。最后,我们发展了二维非线性空间分数阶反应扩散方程的稳定的二阶半隐Fourier谱方法。采用时间-空间误差分裂技术,得到了数值格式的最优误差估计。并对该半隐方法的线性稳定性进行了分析,得到了一个选择时间步长的实用准则。具体地:第一章,我们首先简要介绍分数阶微积分的产生及发展历程,并给出本文中用到的几种分数阶导数的定义形式。然后,简单的概述本文的主要研究内容。第二章,针对一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程,我们提出一种时空谱方法。在时间上,利用Jacobi多项式进行离散,在空间上,利用Legendre多项式进行逼近。证明了数值格式的稳定性和收敛性,并给出了详细的数值实现过程。此外,我们利用L-M方法对方程中的时间分数阶导数阶数α和空间分数阶导数阶数2β进行了估计。数值算例给出了数值格式在时间和空间上不同范数下的误差和收敛阶,数值解与解析解的图像吻合的非常好,这说明我们给出的时空谱方法对于求解一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程是有效的。为了验证L-M方法的有效性,我们给出了无噪数据和有限水平的噪音数据,讨论了各个初始参数值的选取对估计结果的影响,发现了不同的初始参数值对于估计的结果影响很小,而随着噪音数据水平的提高,估计结果会有微小误差,表明L-M方法对方程的参数估计是可行的。第三章,我们研究了二维Riesz空间分布阶对流扩散方程。提出了比中点公式精度更高的高斯求积公式,利用该公式对空间分布导数进行离散,则方程可以转化为多项的空间分数阶方程。通过Crank-Nicolson交替方向Legendre谱方法得到方程的数值解,在时间方向上利用Cank-Nicolson差分方法进行离散,空间方向上采用Legendre谱方法离散,并证明了半离散格式和全离散格式的稳定性和收敛性,最后我们给出两个数值算例,第一个数值算例呈现了数值格式的收敛阶,以及数值解与解析解的图像,说明了数值方法的有效性,并且比较了高斯求积公式和中点公式的精度和收敛阶来论证高斯求积公式的精度是优于中点公式的。第二个数值算例是基于相关的研究背景给出,我们主要讨论了相关系数对方程解的影响,以及Riesz空间分布阶对流扩散方程和Riesz空间分数阶对流扩散方程之间的区别和联系。第四章,我们发展了一维非线性耦合的空间分数阶薛定谔方程的谱方法,给出了数值实施过程,利用Crank-Nicolson差分方法来离散时间,通过Legendre谱方法对空间进行逼近,证明了质量守恒和能量守恒定律以及数值格式的收敛性。在数值解的基础上,我们率先采用了贝叶斯方法对方程的空间分数阶导数阶数α,非线性项的系数ρ和β进行了估计。最后给出了三个数值算例,第一个数值算例给出了数值格式的收敛阶,并说明了初始参数值的变化对估计结果没有太大的影响,随着最大迭代次数的增加,估计结果的精度会变得越来越好,从而验证了数值方法和贝叶斯方法的有效性。第二个数值算例给出了非线性耦合的空间分数阶薛定谔方程解的相关性质,讨论了该模型的应用。第三个数值算例通过给方程加入源项,进一步论证了数值格式的可行性。第五章,我们考虑了具有周期边界条件的一维时间分数阶Boussinesq方程,此模型通常用来描述水平尺度远大于水深的地表水波。时间方向上采用了L2方法进行离散,空间方向上给出Fourier谱方法进行数值求解,并证明了数值格式的稳定性和收敛性。最后给出两个数值算例来验证理论分析,第一个数值算例给出了数值格式的误差、收敛阶和CPU时间,模型数值解与解析解的图像也是很吻合的,验证了所提出的谱方法的有效性。第二个数值算例呈现出相关的模型解的性质,并分析了方程中参数对解的影响,以上结果表明我们所提出的数值方法对所研究的方程是行之有效的。第六章,对于高维的非线性偏微分方程,由于非线性项的存在,理论分析会出现依赖于空间网格的时间步长的限制条件,我们研究了二维的非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的谱方法,假设方程的初始条件为0（当不为0时,可以通过变换使其变为0）,方程的Caput.o分数阶导数就等价于Riemann-Liouville分数阶导数,我们利用加权移位Griinwald-Let.nikov差分方法离散时间分数阶导数,此种方法可以将时间方向上的收敛阶提高到二阶,空间方向考虑利用Legendre谱方法,并且处理了非齐次的边界条件。对于高维方程以及长时间计算问题,我们在数值实施过程中提出了一种新颖的快速计算方法来降低存储空间和计算时间。此外,我们基于误差分裂方法得到了无时间步长限制条件的误差估计,在理论分析方面有了突破。考虑到时间分数阶偏微分方程在t=0处常常伴有奇性,并且解在此处的正则性较差,我们通过修正方法来处理这种情形。最后呈现了三个数值算例,第一个和第二个数值算例分别带有齐次和非齐次边界条件,解都是光滑的,我们给出了数值格式的收敛阶和误差,并展示了快速计算方法和直接计算方法在计算时间上的差异以及两种方法最后求得数值解之间的误差,结果验证了数值方法和快速计算方法的有效性。第三个数值算例,解是不光滑的,呈现了不同个数的修正项的精度和收敛阶,证明了修正方法的可行性。第七章,我们研究了分数阶拉普拉斯算子描述的二维非线性空间分数阶反应扩散方程的稳定的二阶半隐Fourier谱方法。时间方向上利用半隐的二阶差分格式,并加上稳定项来提高稳定性,空间方向上采用Fourier谱方法。通过时间-空间误差分裂技术,在不施加步长限制条件的情况下,得到了数值格式的最优误差估计。并对该半隐方法的线性稳定性进行了分析,得到了一个选择时间步长的实用准则,以保证半隐方法在实际应用中的稳定性。我们的方法是通过解决几个实际感兴趣的问题来说明的,包括分数阶Allen-Cahn、Gray-Scott模型和FitzHugh-NNagumo模型。最后呈现了三个数值算例,第一个数值算例给出了数值格式的误差和收敛阶,验证了所提出的谱方法的有效性。第二个和第三个数值算例分别考虑了空间分数阶Gray-Scott模型和空间分数阶FitzHugh-Nagumo模型,给出了相关的解的相关性质,讨论了该模型的应用。第八章,我们给出本文的总结和未来可能的研究方向。
王楠[9]（2019）在《几类空间分数阶偏微分方程的高效算法研究》文中研究指明分数阶微分方程基于分数阶导数的非局部性质,可以更好地描述科学工程领域中具有分形色散、遗传效应和记忆性的许多现象.近些年来,分数阶微分方程得到了广泛应用.然而,通常大多数情形,分数阶方程的解析解涉及到难以处理的特殊函数或者很难求得.因此,开展其数值方法的研究就显得十分必要.本论文主要考虑几类空间分数阶偏微分方程的高效算法研究,包括非线性分数阶Ginzburg-Landau方程,带有非齐次边界条件的守恒型双边空间Rieman-Liouville分数阶微分方程以及双边空间Caputo类分数阶微分方程.我们的主要工作包括以下四个方面:（1）研究对一维和二维非线性分数阶Ginzburg-Landau方程.我们建立分裂步拟紧差分格式,特别地,对于二维问题的线性部分,采用交替隐式（ADI）有限差分格式.对线性情形,我们给出了数值解的有界性和收敛性证明,并通过数值试验验证了格式的有效性.（2）研究带非齐次边界条件的双边Riemann-Liouville和Caputo分数阶微分方程.我们分析了带有不同边界条件的双边分数阶微分方程弱问题的适定性.同时,我们建立Galerkin惩罚谱方法,构造了相应的弱变分形式,并给出了满足相应强制性充分条件的证明.基于充分条件的证明,我们给出了相应罚参数和罚函数的估计.最后,数值试验验证了理论的高效性.（3）考虑带非齐次分数阶Neumann边界条件的双边Riemann-Liouville分数阶微分方程.我们依据第四章导出的谱关系式,给出新型的分数阶谱配置方法.该方法的优势在于可以显式表示分数阶微分矩阵以及边界微分矩阵,使得配置矩阵易于实现.此外,构造了扩散方程的谱配置格式,数值验证了分数阶谱配置格式的有效性.（4）研究带非齐次分数阶Neumann边界条件的双边Caputo分数阶微分方程.我们构造基于分层网格的谱元离散格式,并基于弱变分形式的系数矩阵,建立了基于其系数矩阵的Hierarchical矩阵逼近的快速算法.同时我们也给出了Hierarchical矩阵的构造以及预处理系统,得到了一个既可以减少计算代价又可以不损失误差精度的有效算法,特别适用于大型矩阵.数值试验也验证了方法的有效性.总之,本文不仅构造了非线性分数阶Ginzburg-Landau方程的有效算法,也深入探讨了带有广义边界的双边分数阶偏微分方程有效算法的构造.此外,我们也给出了相应的理论结果.这些工作也为今后数值求解分数阶扩散方程以及非线性分数阶偏微分方程提供了有效算法.
侯典明[10]（2019）在《若干奇性问题和梯度流模型的高阶数值方法》文中研究说明本文研究了两大类偏微分方程的高阶数值方法,其中一类为具有奇性解的微分-积分方程和分数阶微分方程,另一类为具有梯度流结构的偏微分方程。论文大致分为两大相对独立的部分,前半部分针对一类微分-积分方程和分数阶微分方程,构造并分析了基于Muntz多项式逼近的高效谱方法;后半部分针对几个经典的梯度流方程,基于拓展的辅助变量法构造并分析了无条件稳定的时间离散格式。论文主要内容包含在下面几个章节中:第一章,介绍与本文研究密切相关的背景和研究现状,陈述本文的研究动机和主要内容,并给出本文所需的部分预备知识。第二章,首先给出Miintz Jacobi正交多项式的定义,讨论该多项式的基本性质。然后研究Muntz Jacobi多项式的逼近性质,特别是分析了加权投影算子和插值算子的基本逼近性质。第三章,首先在第一节提出和分析了一类积分微分方程和经典Possion方程的高效Miintz谱方法,给出了收敛结果的证明。收敛性分析结构显示:尽管精确解在边界处可能有奇性,只要选择适当的参数就能保证数值解的谱收敛。本节最后给出的数值算例验证了理论结果的正确性。在第二节我们考虑一类时间分数阶扩散方程,构造了一个Muntz谱方法,即基于Galerkin或Petrov-Galerkin弱形式和Muntz多项式逼近空间的谱方法。理论分析和数值研究表明:对于一般的右端项,数值解具有指数收敛。准确地说,基于Galerkin框架的算法分析和数值算例显示:只要取得合适的参数,数值格式就具有指数收敛。基于Petrov-Galerkin框架的Muntz谱方法尽管没有理论证明,但数值例子显示它具有与G alerkin方法相同的精度。在本章的最后一节,我们设计和分析了一类带弱奇异核的Volterra积分方程的Muntz谱配置点方法,推导了数值解的L∞-和带权L2-误差估计。相比已有方法,我们的方法对Volterra积分方程的典型解具有更高的收敛阶。第四章,考虑具有梯度流结构的一类偏微分方程,提出了一个拓展的标量辅助变量法（Scalar Auxiliary Variable,即SAV）,并借此构造了无条件稳定的时间离散格式。新方法的有效性在于将梯度流方程分解成几个非耦合的常系数Possion方程,后者可以用已有的任何快速算法求解。我们严格证明了所构造时间格式的无条件稳定性,并通过一系列数值试验验证了理论结果的正确性和算法的有效性。新方法是传统SAV方法的拓展。通过引入一个含参数的附加项,新方法不仅涵盖了传统的SAV,还放松了传统的SAV施加在自由能上的假设:即传统的SAV要求自由能的非线性部分有下界,而新的方法只需假设总的自由能或部分自由能有下界。后者更具有物理合理性,对梯度流模型有更广的适应性。
二、几类含双实参数的二阶非齐次微分方程解的探讨（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、几类含双实参数的二阶非齐次微分方程解的探讨（论文提纲范文）
（1）几类非线性波型方程的定性分析（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 主要结果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 几何奇异摄动理论 |
| 2.2 相关定性分析方法 |
| 第三章 Camassa-Holm-KP方程的孤波解 |
| 3.1 无时滞情形的孤波解 |
| 3.2 时滞情形的孤波解 |
| 第四章 耦合Schr(?)dinger方程组的孤波解 |
| 4.1 无时滞情形的孤波解 |
| 4.2 时滞情形的孤波解 |
| 第五章 两组分Camassa-Holm系统的局部适定性与波裂现象 |
| 5.1 局部适定性 |
| 5.2 波裂现象 |
| 第六章 修正的两组分Camassa-Holm系统的局部适定性与波裂现象 |
| 6.1 局部适定性 |
| 6.2 波裂现象 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（2）CQ/SCQ差分公式构造及其在分数阶微积分方程数值求解中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 分数阶模型数值方法简介 |
| 1.3 本文工作概要 |
| 第二章 两族CQ差分公式的设计与应用 |
| 2.1 本章引言 |
| 2.2 分数阶BT-?和BN-?逼近公式的提出与分析 |
| 2.2.1 预备知识 |
| 2.2.2 公式设计与收敛性分析 |
| 2.2.3 稳定区域 |
| 2.2.4 数值算例 |
| 2.2.5 本节附录 |
| 2.3 两族逼近公式在时间分数阶电缆方程中的应用 |
| 2.3.1 全离散格式 |
| 2.3.2 稳定性分析 |
| 2.3.3 误差估计 |
| 2.3.4 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 CQ方法在分布阶微积分方程中的应用 |
| 3.1 本章引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章附录 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 含有位移参数的CQ方法 |
| 4.1 本章引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 SCQ相关结论 |
| 4.4 稳定区域 |
| 4.5 SCQ公式的应用 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 三类二阶SCQ差分公式的设计与应用 |
| 5.1 本章引言 |
| 5.2 广义BDF2-θ在分数阶移动/非移动输运方程中的应用 |
| 5.2.1 全离散格式 |
| 5.2.2 稳定性分析 |
| 5.2.3 误差估计 |
| 5.2.4 实现过程 |
| 5.2.5 数值算例 |
| 5.3 位移分数阶梯形公式设计及其在双侧空间分数阶对流扩散方程中的应用 |
| 5.3.1 公式设计 |
| 5.3.2 全离散格式 |
| 5.3.3 稳定性分析 |
| 5.3.4 数值算例 |
| 5.4 一类新的二阶SCQ差分公式的设计及其在多项时间分数阶反应扩散波方程中的应用 |
| 5.4.1 预备知识 |
| 5.4.2 公式设计 |
| 5.4.3 全离散格式 |
| 5.4.4 稳定性分析 |
| 5.4.5 误差估计 |
| 5.4.6 快速算法 |
| 5.4.7 数值算例 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 位移分数阶梯形公式的更多应用 |
| 6.1 本章引言 |
| 6.2 高维非线性空间分数阶薛定谔方程的快速保结构有限差分法 |
| 6.2.1 预备知识 |
| 6.2.2 全离散格式 |
| 6.2.3 守恒律 |
| 6.2.4 误差估计 |
| 6.2.5 快速算法 |
| 6.2.6 数值算例 |
| 6.3 SFTR在含非光滑解亚扩散问题中的应用及快速算法 |
| 6.3.1 全离散格式 |
| 6.3.2 稳定性分析 |
| 6.3.3 误差估计 |
| 6.3.4 快速算法 |
| 6.3.5 数值算例 |
| 6.4 关于时间分数阶麦克斯韦方程离散能量的衰减性分析 |
| 6.4.1 离散能量衰减律 |
| 6.4.2 全离散格式 |
| 6.4.3 理论分析 |
| 6.4.4 实现过程 |
| 6.4.5 数值算例 |
| 6.5 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间科研情况简介 |
（3）几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇异摄动问题 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 渐近方法 |
| 1.2.2 数值方法 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第2章 二阶奇异摄动边值问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 有理谱方法 |
| 2.1.2 Sinh变换 |
| 2.1.3 奇异分离技术 |
| 2.2 渐近分析 |
| 2.2.1 反应扩散方程 |
| 2.2.2 对流扩散反应方程 |
| 2.3 误差分析 |
| 2.3.1 最值原理 |
| 2.3.2 误差估计 |
| 2.4 算法实现 |
| 2.4.1 反应扩散方程 |
| 2.4.2 对流扩散反应方程 |
| 2.5 变系数问题 |
| 2.5.1 变系数对流扩散问题 |
| 2.5.2 变系数反应扩散问题 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 小结 |
| 第3章 奇异摄动方程组问题 |
| 3.1 渐近分析 |
| 3.2 常系数奇异摄动方程组问题 |
| 3.2.1 反应扩散型问题 |
| 3.2.1.1 奇异分离技术 |
| 3.2.1.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.1.3 误差分析 |
| 3.2.2 对流扩散型问题 |
| 3.2.2.1 奇异分离技术 |
| 3.2.2.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.2.3 误差分析 |
| 3.3 变系数问题 |
| 3.3.1 反应扩散型问题 |
| 3.3.2 对流扩散型问题 |
| 3.3.3 对流扩散反应型问题 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 含界面条件的奇异摄动问题 |
| 4.1 反应扩散问题 |
| 4.1.1 渐近分析 |
| 4.1.2 RSC-SSM方法 |
| 4.2 对流扩散问题 |
| 4.2.1 渐近分析 |
| 4.2.2 RSC-SSM方法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 非定常奇异摄动问题 |
| 5.1 抛物型奇异摄动问题 |
| 5.1.1 Laplace变换 |
| 5.1.2 数值逆Laplace变换 |
| 5.1.3 数值实验 |
| 5.2 时间分数阶奇异摄动问题 |
| 5.2.1 分数阶微积分 |
| 5.2.2 Laplace变换 |
| 5.2.3 数值实验 |
| 5.3 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作的总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（4）两类非线性微分方程解的多重性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 Choquard方程的研究现状 |
| 1.2.2 分数阶微分系统的研究现状 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 相关概念 |
| 1.4.2 相关的几个引理 |
| 第二章 一类含p-Laplacian算子的非齐次Choquard方程解的存在性 |
| 2.1 主要结果 |
| 2.2 变分结构和记号 |
| 2.3 主要引理及证明 |
| 2.4 极小化问题和Palais-Smale分析 |
| 2.5 主要定理证明 |
| 2.6 小结 |
| 第三章 一类含控制参数的非线性分数微分系统的多重解 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 变分结构和主要引理 |
| 3.3 主要结果的证明 |
| 3.4 数值实例 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 总结与展望 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间已发表的论文 |
| 致谢 |
（5）求解几类非线性发展方程的试探方程法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 微分算子的分解和试探方程法 |
| 1.3 本文研究的主要内容 |
| 第2章 求解两类非线性Schr(?)dinger方程精确解的复试探方程法 |
| 2.1 复试探方程法 |
| 2.2 带二次-三次非线性项的Schr(?)dinger方程的精确解 |
| 2.3 带非局部抛物律的Schr(?)dinger方程的精确解 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 求解两类浅水波运动方程组精确解的耦合试探方程法 |
| 3.1 耦合试探方程法 |
| 3.2 耦合Kaup-Boussinesq方程组的精确解 |
| 3.3 耦合Kaup-BoussinesqⅡ方程组的精确解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 求解变系数广义KdV-mKdV组合方程精确解的变系数试探方程法 |
| 4.1 变系数试探方程法 |
| 4.2 自由参数为1时的精确解 |
| 4.3 自由参数为-(1/2)时的精确解 |
| 4.4 自由参数为2时的精确解 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）几类非线性发展方程的Riemann-Hilbert问题及其解析解的特征研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 非线性微分方程的求解方法 |
| 1.3 Riemann-Hilbert方法在可积系统初值问题的发展 |
| 1.4 研究内容 |
| 2 非线性发展方程的长波极限展开及其有理解、半有理解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 非局域非线性薛定谔方程的有理解及半有理解 |
| 2.3 广义(2+1)维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程的有理解及半有理解 |
| 2.4 (3+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的有理解 |
| 3 非线性性薛定谔方程的Darboux变换及怪波 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 具有非线性交替符号的耦合非线性薛定谔方程的Darboux变换及怪波 |
| 3.3 高阶耦合非线性薛定谔方程的呼吸波及怪波 |
| 4 Hirota方程的dn-周期怪波 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 dn-周期行波解和Darboux变换 |
| 4.3 Lax对的非线性化及势函数的约束 |
| 4.4 dn-周期怪波的构造 |
| 5 Riemann-Hilbert方法构造三分量耦合非线性性薛定谔方程的 孤子解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 Riemann-Hilbert公式的构造 |
| 5.3 Riemann-Hilbert问题的解 |
| 5.4 多孤子解 |
| 6 纯反射情况下耦合三五阶非线性性薛定谔方程的长时间间渐近行为 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 谱分析 |
| 6.3 基础Riemann-Hilbert问题 |
| 6.4 长时间渐近,定理6.1的证明 |
| 7 非线性发展方程的直接法及其非线性波解 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 非线性微分方程的广义lump、lumpoff和可预测性怪波解 |
| 7.3 广义(2+1)维Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的呼吸波和怪波 |
| 7.4 带高阶奇偶项非线性薛定谔方程中的光孤子 |
| 8 总结与展望 |
| 8.1 本文总结 |
| 8.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（7）微分Galois理论与非线性动力系统的不可积性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 首次积分与可积性 |
| 1.2 微分Galois理论 |
| 1.3 非线性微分方程的Galois方法及应用 |
| 1.4 本文的工作与展望 |
| 第二章 随机微分方程的首次积分 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 应用举例 |
| 第三章 几类三维系统的可积性与不可积性 |
| 3.1 Lorenz系统 |
| 3.1.1 亚纯首次积分 |
| 3.1.2 形式首次积分 |
| 3.2 Shimizu-Morioka系统 |
| 3.2.1 Shimizu-Morioka系统与Rucklidge系统的等价性 |
| 3.2.2 达布首次积分 |
| 3.2.3 不可积性 |
| 3.3 广义Rikitake系统 |
| 3.3.1 可积变形与双哈密顿结构 |
| 3.3.2 不可积性 |
| 第四章 Kowalevski指数,弱 Painlev′e性质和可积性 |
| 4.1 拟齐次系统的完全可积性 |
| 4.2 牛顿系统的广义刘维尔可积性 |
| 第五章 保守系统的部分可积性 |
| 5.1 主要结果 |
| 5.2 应用:Karabut系统的部分可积性 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 后记和致谢 |
| 参考文献 |
（8）分数阶偏微分方程的谱方法及其应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 分数阶微积分简述 |
| §1.2 本文的主要研究内容 |
| 第二章 一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程的时空谱方法及其参数估计问题 |
| §2.1 数学模型 |
| §2.2 数值方法 |
| §2.2.1 预备知识 |
| §2.2.2 变分公式 |
| §2.2.3 数值实施 |
| §2.3 理论分析 |
| §2.4 L-M方法 |
| §2.5 数值算例 |
| §2.5.1 数值方法的有效性 |
| §2.5.2 L-M方法的有效性 |
| §2.6 本章小结 |
| 第三章 二维Riesz空间分布阶对流扩散方程的Crank-Nicolson交替方向Galerkin-Legendre谱方法 |
| §3.1 数学模型 |
| §3.2 数值方法 |
| §3.2.1 预备知识 |
| §3.2.2 数值实施 |
| §3.3 理论分析 |
| §3.3.1 半离散格式的稳定性和收敛性 |
| §3.3.2 全离散格式的稳定性和收敛性 |
| §3.4 数值算例 |
| §3.4.1 数值算例1 |
| §3.4.2 数值算例2 |
| §3.5 本章小结 |
| 第四章 一维耦合非线性的空间分数阶薛定谔方程的谱方法及其贝叶斯参数估计 |
| §4.1 数学模型 |
| §4.2 数值方法 |
| §4.3 理论分析 |
| §4.3.1 守恒定律分析 |
| §4.3.2 收敛性分析 |
| §4.4 贝叶斯方法 |
| §4.5 数值算例 |
| §4.5.1 数值算例1 |
| §4.5.2 数值算例2 |
| §4.5.3 数值算例3 |
| §4.6 本章小结 |
| 第五章 一维时间分数阶Boussinesq方程的谱方法 |
| §5.1 数学模型 |
| §5.2 数值方法 |
| §5.3 理论分析 |
| §5.4 数值算例 |
| §5.4.1 数值算例1 |
| §5.4.2 数值算例2 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 基于高效多步方法的二维非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的无条件收敛谱格式 |
| §6.1 数学模型 |
| §6.2 数值方法 |
| §6.3 快速算法 |
| §6.4 理论分析 |
| §6.4.1 预备知识 |
| §6.4.2 时间离散体系的收敛性分析 |
| §6.4.3 空间离散体系的收敛性分析 |
| §6.4.4 全离散格式的收敛性分析 |
| §6.5 修正方法 |
| §6.6 数值算例 |
| §6.6.1 数值算例1 |
| §6.6.2 数值算例2 |
| §6.6.3 数值算例3 |
| §6.7 本章小结 |
| 第七章 非线性空间分数阶反应扩散方程的二阶稳定的半隐Fourier谱方法 |
| §7.1 数学模型 |
| §7.2 数值方法 |
| §7.3 线性稳定性 |
| §7.4 理论分析 |
| §7.4.1 预备知识 |
| §7.4.2 时间离散体系的收敛性分析 |
| §7.4.3 空间离散体系的收敛性分析 |
| §7.4.4 全离散格式的收敛性分析 |
| §7.5 空间分数阶反应扩散模型系统的推广 |
| §7.6 数值算例 |
| §7.6.1 数值算例 |
| §7.6.2 数值算例 |
| §7.6.3 数值算例3 |
| §7.7 本章小结 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（9）几类空间分数阶偏微分方程的高效算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 分数阶算子的发展历史 |
| 1.2 研究背景 |
| 1.3 研究动机与本文工作概要 |
| 2 分数阶导数与Jacobi多项式 |
| 2.1 分数阶导数的定义与性质 |
| 2.2 Jacobi多项式 |
| 2.3 广义的Jacobi函数(Jacobi polyfractonomials) |
| 3 非线性Ginzburg-Landau方程的分裂拟紧有限差分方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 分数阶G-L方程的分裂步方法 |
| 3.3 一维问题的分裂步拟紧差分格式 |
| 3.4 二维问题的分裂步拟紧差分格式 |
| 3.5 数值试验 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 广义边界条件的双边分数阶微分方程的惩罚谱方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 广义Jacobi函数与Jacobi多项式 |
| 4.3 适定性 |
| 4.4 惩罚谱方法(SPM) |
| 4.5 Petrov-Galerkin tau谱方法(PGS-τ ) |
| 4.6 数值试验 |
| 4.7 一个关于扩散方程的应用 |
| 4.8 本章小结 |
| 5 带分数阶Neumann边界条件的分数阶微分方程的谱配置格式 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 分数阶方程的谱配置格式 |
| 5.3 反射边界条件的分数阶扩散方程的谱配置格式 |
| 5.4 数值试验 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 双边分数阶微分方程的谱元方法以及快速算法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 谱元格式的构造 |
| 6.3 谱元格式的实现 |
| 6.4 Hierarchical矩阵构造 |
| 6.5 H-矩阵逼近求解线性系统 |
| 6.6 数值试验 |
| 6.7 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表和完成的论文目录 |
（10）若干奇性问题和梯度流模型的高阶数值方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究现状 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 研究内容及结构安排 |
| 1.4 预备知识 |
| 第二章 M(?)ntz Jacobi正交多项式及其基本逼近结果 |
| 2.1 M(?)ntz Jacobi正交多项式及其性质 |
| 2.2 M(?)ntz Jacobi正交多项式的最佳逼近误差估计 |
| 第三章 几类奇性问题的M(?)ntz谱方法 |
| 3.1 一类积分微分方程和经典Possion方程的M(?)ntz谱方法 |
| 3.2 一类时间分数阶扩散方程M(?)ntz谱方法 |
| 3.3 一类弱奇异Volterra积分方程的M(?)ntz Jacobi谱配置点方法 |
| 第四章 梯度流的一类拓展的SAV的高效数值方法 |
| 4.1 梯度流模型 |
| 4.2 拓展的SAV方法 |
| 4.3 空间谱离散和格式的实现 |
| 4.4 数值结果 |
| 参考文献 |
| 在学期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
四、几类含双实参数的二阶非齐次微分方程解的探讨（论文参考文献）
- [1]几类非线性波型方程的定性分析[D]. 李晓婉. 吉林大学, 2021(01)
- [2]CQ/SCQ差分公式构造及其在分数阶微积分方程数值求解中的应用[D]. 尹保利. 内蒙古大学, 2021
- [3]几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究[D]. 杨录峰. 兰州大学, 2021(09)
- [4]两类非线性微分方程解的多重性研究[D]. 史小燕. 湖南工业大学, 2020(02)
- [5]求解几类非线性发展方程的试探方程法[D]. 李文赫. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [6]几类非线性发展方程的Riemann-Hilbert问题及其解析解的特征研究[D]. 彭卫琪. 中国矿业大学, 2020(01)
- [7]微分Galois理论与非线性动力系统的不可积性[D]. 黄开银. 吉林大学, 2019(10)
- [8]分数阶偏微分方程的谱方法及其应用[D]. 张慧. 山东大学, 2019(09)
- [9]几类空间分数阶偏微分方程的高效算法研究[D]. 王楠. 华中科技大学, 2019
- [10]若干奇性问题和梯度流模型的高阶数值方法[D]. 侯典明. 厦门大学, 2019(07)