一、一类带奇异低阶项椭圆型方程的正则性（论文文献综述）
陶文宇[1]（2021）在《Bessel算子及其相关算子研究》文中指出本学位论文主要研究了与二阶椭圆算子,Bessel算子以及Schrodinger算子相关的一些积分算子在函数空间上的有界性问题,其中二阶椭圆算子,Bessel算子,Schrodinger算子这三类算子分别是从椭圆方程,Laplace方程,Schrodinger方程中提炼出来的算子.本学位论文的主要创新点概括为以下三个方面:1.二阶椭圆算子比Laplacian算子复杂,处理Calderon交换子的旋转方法对二阶椭圆算子交换子是失效.利用Sobolev Calderon-Zygmund分解结合非对角估计的方法,有效替换了旋转方法,重新估计了 Sobolev函数和二阶椭圆算子平方根的交换子的弱（1,1）有界性.最后通过插值方法将Sobolev函数和二阶椭圆算子平方根的交换子的梯度估计中的p=2指标放大到了 p-（L）<p<p+（L）.2.平方根型平方函数算子的相函数半群不能完全写成热半群的微分形态,即这类算子的核函数没有具体的热核形态表达式.利用泛函演算的方法结合Bessel算子热半群的核函数的性质,估算出平方根型平方函数算子核的上界估计,从而保证了各类函数空间上的有界性证明可实现.3.定义了比与经典Schrodinger算子相关的BMO空间大的与广义Schrodinger算子相关的新型BMO空间,并验证了 Littlewood-Paley g-函数在这类新空间上的有界性.本学位论文具体研究的内容如下:第二章中,利用Sobolev Calderon-Zygmund分解结合非对角估计的方法,研究了 Kato平方根（?）与满足▽b∈Ln（Rn）（n>2）的Sobolev函数b形成的交换子[b,（?）],它是从齐型Sobolev空间L1p（Rn）到Lp（Rn）,（p-（L）<p<p+（L））有界的.第三章中,研究了两类Bessel算子的平方根与它们对应的微分算子在Lp范数下的等价关系.此外,利用全纯泛函演算,得到了两类Bessel算子的平方根型平方函数的弱（1,1）,H1到L1的有界性.最后,对于Bessel算子Sλ的平方根型平方函数,证明了它在BMO边界空间上的有界性.第四章中,在第三章的Bessel算子平方函数核的估计的研究基础上,进一步验证了与△λ相关的平方函数交换子[b,gΔλ]在Lp（R+,x2λdx）空间上有界（或紧）,当且仅当 b ∈ BMO（R+,x2λdx）（或 b ∈ CMO（R+,x2λdx））.从而,得到了交换子[b,gΔλ]可以刻画BMO（或CMO）空间的事实.第五章中,设（?）=—△+μ是Rn,n ≥ 3上的广义Schrodinger算子,其中μ≠0是非负Radon测度,它满足尺度不变的Kato条件和双倍条件,新定义了一个与广义Schrodinger算子（?）相关的新的BMO空间.它比与经典Schrodinger算子A=-△+V相关的BMO空间大,其中V是一个满足逆Holder不等式的位势函数.另外,还证明了与（?）相关联的Littlewood-Paleyg-函数在BMOθ,（?）空间上的有界性.第六章中,一方面研究了广义Schrodinger算子Riesz变换▽（?）-1/2和BMO函数b形成的交换子[b,▽（?）-1/2]的Lp-有界性.另一方面,利用与Schrodinger算子相关的交换子的紧性准则,证明了交换子[b,（?）-1/2▽]的Lp-紧性.
和小华[2]（2021）在《含对流项和奇异非线性项的椭圆方程解的存在性和正则性》文中进行了进一步梳理本文用截断技术与逼近方法,研究了两类椭圆型偏微分方程Dirichlet问题解的存在性与正则性.首先,我们研究如下含有奇异低阶项和对流项的椭圆方程（?）解的存在性及正则性,其中Ω（?）RN（N>2）是有界光滑区域且0∈Ω,γ>0,M（x）是有界可测矩阵,E（x）是向量函数,f（x）是非负可测函数.其次,进一步考虑了如下椭圆型方程Dirichlet问题（?）解的存在性,其中Ω（?）RN（N>2）是有界光滑区域且0∈Ω,p>0,f（X）∈Lm（Ω）（m≥ 1）.
冒钱城[3]（2021）在《一类半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题》文中研究说明非线性偏微分方程在自然科学的各个领域都有广泛的应用.其中,偏微分方程的奇异扰动问题对物理学,化学和生物学等学科的研究有重要的意义.本文主要研究带有三种不同边界条件的半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题,对边界层的厚度以及解在边界的渐近行为进行了分析.本文分为以下三个部分.第一部分对带有Dirichlet边界条件的问题进行了研究,通过内部估计和Pohozaev等式得到了边界层的厚度和解的导数在边界的渐近展开式;第二部分对球形区域上一类带有Robin边界条件的问题进行了研究,重点探讨了解在边界的渐近行为;第三部分对一般区域上带有非线性Neumann边界条件的奇异扰动问题进行了研究,利用极值原理证明了解的一致有界性,并通过上下解方法得到了解在边界的估计.
许晓丹[4]（2021）在《两类微分方程拟周期解的存在性》文中进行了进一步梳理本文中,我们主要研究一类带有拟周期驱动的反转谐振子方程和一类非线性椭圆方程拟周期解的存在性.在经典力学,物理学和工程学应用中,许多非线性振动问题可以表示成具有拟周期驱动的谐振子模型.Stoker提出了一个经典问题,即寻求与拟周期驱动具有相同频率的拟周期解（即响应解）的问题.这个问题现在被称作Stoker问题.对于这个问题的研究已经有大量的成果.其中KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理论是研究近可积保守系统的拟周期解的有力工具.在文章的第一部分,我们利用有限维反转系统的KAM理论来研究具有多维Liouvillean频率的拟周期驱动反转系统的Stoker问题.据我们所知,已有的文献中的结果是关于应用改进的KAM理论来处理扰动项具有二维Liouvillean频率的问题,其中频率为（1,α）,α ∈ RQ,其关键在于利用无理数α的连分数来控制小除数,并构造两个KAM迭代程序来实现拟周期线性系统的约化.在这一部分中,我们考虑将结果拓展到高维频率并假设频率向量满足弱于Brjuno条件的非共振条件,即扰动项具有一类高维Liouvillean频率.经典的KAM理论的主要思想是在一定的非共振条件的假设下进行正规形约化,然后再进一步假设小除数满足Melnikov条件,在牺牲掉一小部分参数的情况下,可以得到未扰系统的不变环面绝大多数被保持下来,从而证明了解的存在性.这里我们证明的总体策略与[22]解决具有高维Liouvillean频率的拟周期驱动哈密顿系统的方法类似,但主要的思想仍来源于文献[38]中的改进的KAM理论.我们知道,在Hamiltonian系统的每一步KAM迭代中,辛变换能够保持Hamiltonian结构.而在本文的反转系统中,我们要求坐标变换与某些对合变换可交换从而保持系统的反转结构.这也使得我们的证明更加复杂.在第二部分中,我们研究一类非线性椭圆方程及椭圆型发展方程解的存在性.这部分工作是在已有文献[76]的结果上,给出了一个简单的证明及其拓展.在处理非线性椭圆方程问题时,最大的难点在于处理小除数问题.KAM技术和CWB（Craig-Wayne-Bourgain）方法是克服小除数困难的有力工具.Y.Shi在[76]中就是应用了 CWB方法构造了一类带参数的椭圆方程的解析解.本文中,我们通过构造合适的空间,利用经典的冻结系数法来研究非线性椭圆方程,利用时间依赖的中心流形定理来研究椭圆型发展方程（不适定问题）.我们的结果不仅覆盖了[76]的结果,还放宽了对非线性项结构的假设,涵盖了更多的参数.同时我们也可以放宽对非线性项的正则性假设,从而不仅可以在扰动项是解析的情况下得到解析解,也能够在扰动项具有有限正则性的情况下得到具有相应正则性的解.本文的具体安排如下:第一章,我们给出文中将要用到的预备知识,如定义,引理,命题等,并简单介绍Hamiltonian系统及反转系统的主要定义,性质,给出经典的KAM理论的简介.最后一节我们介绍问题的研究背景及研究现状,并给出本文中我们所做的主要工作.第二章,我们详细给出了一类具有多维Liouvillean频率的拟周期驱动反转谐振子的响应解的构造方法.具体地,我们给出一个抽象的有限维反转系统的KAM定理来证明我们的主要结果.第三章,我们详细介绍如何利用经典的冻结系数法来解决一类非线性椭圆方程解的存在性问题及利用时间依赖的中心流形定理来构造一类非线性椭圆型发展方程（不适定问题）的解.
高俊磊[5]（2021）在《二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析》文中认为本文用数学方法研究亚音速流与跨音激波的稳定性.我们在二维直管道中,分别考虑热交换效应对跨音激波稳定性的影响,以及带添质效应亚音速流的稳定性.本文首先研究二维管道中热交换效应对跨音激波稳定性的影响.跨音激波在超音速喷管的气动设计中起着至关重要的作用.以往的研究表明,对于恒定截面直管道中的定常可压缩Euler流,在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,得到的跨音激波是不稳定的.但是在物理实验中观察到的跨音激波却是稳定的.若将直管道改换成扩张形或在流动过程中考虑摩擦力的影响,则按照上述方式扰动下的跨音激波却有稳定性.我们以瑞利流1为模型,进一步探究在二维直管道中具有热交换效应的定常可压缩Euler流,在上述扰动下的跨音激波是否也具有稳定性?我们证明了对于给定单位质量气体的热交换,当上游管道进口处超音速来流和下游出口处压强的扰动满足一定的对称条件时,可以得到几乎所有对应的一维跨音激波都是稳定的,而对于给定单位体积气体的热交换,由此确定的一维跨音激波是不稳定的.数学上,我们研究了双曲-椭圆复合型守恒律方程组的非线性自由边界问题.通过特征分解将亚音速Euler系统的椭圆部分和双曲部分在Lagrange坐标系中解耦.由于热交换效应在流场中具有更加复杂的相互作用,我们通过Fourier分析和对常微分方程边值问题的细致分析,研究了一类具有非局部边界条件的较一般的线性变系数一阶椭圆双曲强耦合系统的适定性.本文还研究二维直管道中具有添质效应亚音速流的稳定性.研究添质问题的目的是为了进一步探究在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,添质效应对跨音激波是否也具有稳定性做准备工作.我们在二维等截面直管道中构建一类只依赖管道轴向x的亚音速特解,通过证明这种特殊的亚音速流关于进出口适当边界条件的二维扰动的亚音速解的稳定性,表明该边值问题提法的合理性.由于亚音速Euler方程组是拟线性椭圆-双曲复合型的,处理这类问题一般的方法是将方程组的椭圆与双曲模式分离.然而,在添质问题中的质量守恒方程含有源项,导致通常在二维情形采用Lagrange坐标变换和特征分解将椭圆与双曲模式分离的办法失效.为此,我们构建了一种新的将Euler方程组的椭圆模式与双曲模式主部分离,低阶项耦合的分解方式.由于添质效应使得流场具有更强的相互作用,进而诱导了一类含有多个积分非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题.我们综合利用Fourier分析、线性代数、解析函数理论和二阶椭圆型方程正则性理论,得到了该类问题的适定性.特别地,我们在一类x向异性Holder空间与通常的Holder空间中分别研究输运方程组与二阶椭圆方程型的正则性,并以此为基础设计非线性迭代格式,得到的所有物理量具有一样的正则性.下面简单介绍本文的结构安排.第一章是绪论,介绍本文的研究背景,提出了本文关心的问题以及主要结果.在第二章,给出了本文所需要的一些基础知识.在第三章,利用隐函数定理分别构造一维情形瑞利流的亚音速、超音速、跨音激波特解和添质问题的亚音速特解.在第四章,我们在第4.1节将原问题在Lagrange坐标中重新表述,通过线性化将其转化成一个具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组固定边界问题和一个用于更新激波形状的常微分方程Cauch场问题.第4.2节,研究一类具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组的适定性.在第4.3节中,构造非线性映射,通过映射压缩性来证明本文第一个主要结果.在第五章,我们在第5.1节,给出了带添质效应的Euler方程组在二维管道中的一个新的等价分解方式,其中包括熵与总焓的输运方程组Cauchy问题、压强满足的二阶椭圆型方程混合边值问题和切向速度在任意截面上沿着y轴方向的常微分方程两点边值问题.在第5.2节,由新的分解方式得到的方程与边界条件分别在背景解处作线性化,得到对应的线性化问题.在第5.3节,给出了三类典型问题——沿着x轴方向的变系数输运方程组Cauchy问题,具有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题和任意截面上沿着y轴方向的常分方程两点边值问题解的适定性与正则性定理.在第5.4节,证明具有添质效应的亚音速流的稳定性,完成本文第二个主要结果的证明.第六章包含了本文所用数学工具的细节.在第6.1节,证明了线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性.在第6.2节,给出了x向异性Holder空间的一些性质.在第6.3节,给出了输运方程组在x向异性Holder空间中解的适定性定理的证明.第七章是对后续工作的设想.
李新华[6]（2020）在《惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用》文中研究表明随着无穷维动力系统理论的深入发展,许多由数学物理方程生成的耗散动力系统显现了一定的有限维属性.由此引发了一系列对无穷维动力系统进行有限维约化的研究.经典的惯性流形理论表明,如果一个偏微分方程存在一个N维惯性流形,则其长时间行为可以约化为一个N阶常微分方程组.这本质地简化了对原始偏微分方程动力学行为的理解.目前,惯性流形研究仍是无穷维动力系统中十分重要且具有挑战性的问题之一.本文研究惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用.首先,对T3中的临界修正Leray-α模型,我们证明了该问题惯性流形的存在性.值得注意的是,这是一个关于适定性与惯性流形的“双临界”问题.另一方面,由于此问题中存在湍流项,研究此问题的惯性流形,或许对二维Navier-Stokes方程惯性流形的理解有积极的启发意义.其次,基于由J.Mallet-Paret和G.Sell提出的空间平均方法,我们对半线性抛物系统的惯性流形及其光滑性进行了系统的研究.我们提出/设计了一种可以统一处理标量与矢量方程的通用的方法/框架,此方法可应用于大部分已知惯性流形存在的模型,并得到了一些新的结果.另外,以前的很多结果只得到Lipschitz连续的惯性流形,本文都提升到了C1+ε-光滑性.应用部分包括了带周期边界条件的反应扩散方程、各种类型的广义Cahn-Hilliard方程（比如分数阶和六阶Cahn-Hilliard方程）,以及几种修正的Navier-Stokes方程（包括Leray-α正则化、hyperviscous正则化及其组合）.其中分数阶Cahn-Hilliard方程的惯性流形以及Leray-α正则化与hyperviscous正则化结合的惯性流形的存在性在本文之前没有任何结果.最后,由于已有的惯性流形存在的例子都是考虑相对较好的方程（至少没有奇异性）,惯性流形对含有奇异项的非自治模型的普适性有待验证.在本文第五章中研究了一类奇异非自治抛物系统惯性流形的存在性:（?）其中A（t）≥0（t≥τ）,Ω（?）Rd 是具有光滑边界的有界域.由于算子A（t）可能在某些时刻退化为零,从而在这些退化时间处A（t）的逆不存在.因此,针对这类问题惯性流形的存在性,我们提出了A（t）的一个特殊允许类,以及A（t）与非线性项F的一个相容性条件,并将强锥条件推广至渐近强锥条件.
张雅楠[7]（2020）在《一类椭圆方程弱解的梯度估计》文中研究说明偏微分方程在数学、物理学、力学和工程技术等方面都有着广泛的应用。根据数学特征,偏微分方程主要分为三大类:椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程。在椭圆型和抛物型偏微分方程的理论研究中,梯度估计起到了至关重要的作用,是研究解的可积性和正则性的基础。将椭圆方程弱解的梯度估计作为研究重点,分别研究了自然增长条件下A-调和方程弱解的梯度估计以及一类A-调和方程障碍问题弱解的梯度估计。章节内容组织如下:第一章主要介绍选题背景及意义,对椭圆方程弱解的梯度估计的国内外研究现状进行分析,并阐述文章研究方案。第二章介绍相关预备知识及基本性质。分别对自然增长条件、障碍问题以及Orlicz空间理论进行阐述,并介绍相关预备引理。第三章在自然增长条件下建立非齐次A-调和方程弱解的梯度估计,给出pL估计和Orlicz空间估计。主要应用迭代覆盖逼近方法得到相应结论,避免使用极大函数算子。第四章考虑一类A-调和方程障碍问题弱解的梯度估计,获得pL估计和Orlicz空间估计。采用新的标准化方法以及迭代覆盖逼近等方法,得到相应结论。最后对研究内容做出总结,并对未来研究工作做出展望。图0幅;表0个;参61篇。
徐聪[8]（2020）在《复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法》文中认为伴随着人类知识范围的扩展,非线性科学的地位不断上升。由于非线性模型并不满足叠加原理,不能通过对问题的简单分解来进行量化分析,因此不存在一般的获取精确解的解析方法。为了求解非线性问题,数值计算方法在大多数情况下是惟一可行的选择,并占据着至关重要的位置。另外,实际问题还要求可在复杂区域上执行的算法,而目前的传统方法难以同时处理发生在复杂区域上的非线性问题。注意到本研究组在先前工作中提出的小波方法具有求解非线性方程的强大潜力,本文将其扩展到不规则区域上,提出一种兼顾非线性处理与复杂区域求解的高精度小波数值方法。为了形成一套普适性的求解初边值问题的总体方案,本文还给出了一种计算初值问题的小波多步方法。此外,在前人工作的基础上,本文进一步提高了小波方法对非线性方程的计算精度。Coiflet族小波具有适合数值计算的优良属性。作为基础工作,在滤波器系数组的设计上,本文通过改变消失矩参数的方式,给出了几种属于3N+2族的Coiflet小波。它们比前人工作中构建的3N族小波具备更好的光滑性,可将基函数展开的收敛速度提高一阶。本文在理论上提出了一种适用于Coiflet型小波的改进的计算支撑区间外多重积分值的方法,提供了一种直接的多项式型的解析表达式。该式能够快速计算任意点上的积分值,且不再依赖于滤波系数的介入。这减少了可能的数值舍入误差并提升效率,也为后文的数值积分格式作出了铺垫工作。在小波逼近格式方面,为了减少边界延拓引入的额外误差,本文构造了高阶的Lagrange型延拓格式,克服了原有方案采用的低阶差分格式与小波方法自身的高精度并不匹配的问题。该式在15节点下对tanh（x）的逼近误差可以低至10-8量级,优于其它算法。将该式扩展到二维区域,未发现边界附近的误差有明显增大的现象,证明了其有效性。由于强非线性问题对逼近精度的要求很高,本文构造了一种引入Richardson外推技术的高精度小波配点方法。通过引入半步长的方式并调整系数,能够抵消掉低阶误差项,从而提高了算法的收敛速度。它保留了原算法的全部优点,拥有插值性与高阶光滑性,能够解耦方程中的低阶项与高阶项,使得误差与逼近格式自身无关,且容易施加边界条件,可以无缝替代原算法。最后介绍了一种积分型的小波逼近方法。考虑到未来的工作要在更一般的区间上求解问题,插值点的数量可能会跟随边界形状而不断变化,本文通过使用Newton形式的单向延拓对原有算法进行修改。该格式移除了原算法的一些限制,现可使用任意数量的插值点并在任意长度的区间内施行,这是本文在复杂区域上进行计算的核心之一。对比了4、5与6点方案,我们发现取6节点的延拓已经几乎抑制了边界附近的误差波动。在几何形状复杂的区域上,经典算法往往精度受限,这对非线性问题的计算十分不利。部分精度较好的算法通常难于处理不规则区域,且施加边界条件遭遇到困难。为了兼顾两方面的需求,作为本文的主要工作,提出了一种可在任意形状区域上执行的小波方法。该方法具有良好的泛用性,对边界形式没有特殊要求。它采用了将复杂区域嵌入直角坐标网格的处理方式,无须去拟合复杂的曲线边界,不需要耗费大量时间的网格生成工作,可配合各种简单的网格划分技术以提高效率。小波基的高度光滑性质使此方法具备快速的收敛速度,能够容许在相对粗糙的网格上进行操作,并仍可给出较高精度的结果。小波基的插值性质允许该方法能以简洁的方式操作非线性算子。作为强形式的配点方法,无需将方程修改为弱形式,可以直接求解,对变分原理不存在的某些非线性问题同样有效。其高度的稳定性与合适的边界延拓相结合,避免了其它方法中的系数矩阵病态与边界振荡的弱点。此法还能以精确形式满足不同种类的边界条件,而不是采取某种近似方式来施加。该方法直接生成适合大规模计算的稀疏矩阵,避免了某些经典方法中先离散然后根据边界条件修改总体矩阵带来的低效率。为了分析随时间发展的动态问题,本文提出了一种求解初值问题的小波多步算法。通过调整小波消失矩的参数,可构造出一种强稳定的隐式多步方案。这种方法的导出过程并未借助于传统理论,而是从Coiflet小波近似格式得到。然而其一致性、收敛性与稳定性却能满足经典理论给定的必备条件。绘制出的稳定区域图像与阶星图也能从侧面证明这些属性。利用一种小波逼近给出的预测方法,可以与上述隐式方法合并,从而建立出一套完整的显式的预测-校正方案。若引入Richarson外推技术,这种算法还能进一步加速。我们将会把这种方法与空间上复杂区域的小波算法结合起来,以形成一套总体的初边值问题求解方案。最后,本文通过对一些典型数学方程的计算来展示上述小波方法的优点。由于p-Laplacian方程蕴含了很多数值计算中的难关,其数值解答具备较高的实用价值。在导出新算法的过程中,本文将其作为非线性方程的典型范例进行研究。求解过程中利用了先前建立的小波Galerkin方法与新型小波方法的基本思想。小波方法展现出高精度的特性。其中一例显示小波方法达到了10-7量级的精度,远远好于有限元方法。另一例表明小波方法使用70%左右的节点数便达到了与有限单元法相近水准的精度。与两种有限体积方法的对比,表明小波方法拥有更快的收敛速度。当利用积分型的小波方法求解此问题时,它给出的解与打靶法和有限差分方法几乎完全一致。然而小波方法仅使用1/32的步长,其精度便与差分方法在1/800步长下输出的解大致相当。表明小波型方法具有极高的精度。通过小波Richardson配点方法,计算了数个具有代表性的非线性方程以及一个稳态流动问题。数值结果表明此算法提高了计算精度,其预期行为与理论完全相符,取得了5阶的收敛性能。其中一例显示此法在16节点下的精度已经接近了原方法在32节点下的精度。另一例的结果表明这种新方法计算出的解比原方法更平稳。在不同形状的几何区域上,本文计算了非线性Poisson方程、直杆扭转问题与薄板弯曲问题。小波方法不仅精度优异,对边界的形式也不敏感。相比于有限单元法,小波方法收敛十分快速,在1000个节点以内便能接近有限元方法超过6000节点才能达到的精度,表明其良好的计算效率。其中一例显示出在有限元方法收敛较慢且精度不佳的情形,小波方法仍然有能力计算出高精度的解。多个非线性初值问题的算例展示了小波隐式与显式多步方法的精度与收敛性能。其中一例显示出,对于一些同阶的其它算法不能很好处理的问题,小波多步方法仍可提供较优的计算精度。
吕英姝[9]（2020）在《几类分数阶椭圆方程组和积分方程组解的定性分析》文中进行了进一步梳理本文主要研究了几类分数阶椭圆方程组和积分方程组解的定性分析问题,其中涉及:带有零阶项和一阶项的含有拉普拉斯算子或分数阶拉普拉斯算子的椭圆型方程（后面简称（分数阶）拉普拉斯方程）的极值问题,非线性积分方程组非负解的对称性和单调性,分数阶拉普拉斯方程组解的单调性和唯一性.本文的主要内容如下:第一章首先介绍本文的研究背景,内容包括分数阶拉普拉斯方程研究相关进展以及积分方程和方程组解的定性分析问题.然后简要叙述本文主要研究问题和所用到的核心方法:移动平面法和滑动方法.第二章研究了带有零阶项和一阶项的拉普拉斯方程和分数阶拉普拉斯方程的极值问题.首先考虑含有Schrodinger算子-Δ+c（x）方程的极值问题,其中c（x）是给定的势函数.我们证明当c（x）满足临界可积性条件,即c（x）∈Lp（B1）,p=n/2时,极值原理成立.而当p>n/2时强极值原理成立.特别地,我们给出一个反例证明当p=n/2时,无论‖c‖Lp（B1）多小,强极值原理都不成立.这个结果部分回答了Bertsch,Smarrazzo和Tesei在文献[A note on the strong maximum principle,J.Differential Equations,259（2015）,pp.4356-4375]中所提出的开问题.其次,研究带有一阶项的拉普拉斯方程的极值问题.与前面情形不同,当一阶项系数满足临界可积性条件时,极值原理和强极值原理均成立.最后,我们把拉普拉斯方程的结果推广到分数阶拉普拉斯方程中,研究相应的极值原理问题.特别地,在证明分数阶上调和函数的极值原理时,我们弱化了前人关于函数u（x）的下半连续假设,得到了相应的极值原理.第三章研究了非线性积分方程组非负解的对称性和单调性.考虑非线性项分别满足以下三种情形时非负解的性质:非线性项具有齐次度性质,非线性项可表示成具有齐次度性质的函数的求和形式,非线性项满足一般单调性条件.在这三种情形下,我们利用积分形式的移动平面法证明了积分方程组解的对称性和单调性.这里,单调性条件包含了函数具有临界和次临界齐次度情形,而且齐次度数可以是不同的.由于我们这里的条件相比较前人的工作来说更具有一般性,所以需要更细致的估计来克服遇到的困难.第四章研究了带有非线性项fi（x,u1,u2,…,um,▽ui）,i=1,…,m的分数阶拉普拉斯方程组解的单调性和唯一性,其中区域是在x1方向凸的有界区域或者无界区域.利用滑动方法,我们证明了解ui（x）在x1方向是单调递增的,进而得到解的唯一性.这里,非线性项中含有▽7ui（x）项,给研究带来了困难.这需要我们在某个构造函数wi0（x）的极小值点处建立（-Δ）sui0（x）的逐点估计,1≤i0≤m.此外,我们引入了新的迭代方法来处理相关的方程组问题.
杨超[10]（2020）在《椭圆方程障碍问题解的性质》文中研究说明椭圆方程是偏微分方程的一个重要分支,它不仅与数学、物理工程（气象学）联系紧密,而且在生物学、医学（超声图像）等方面也有着广泛的应用.在椭圆方程的理论研究中,方程解的存在性、唯一性、稳定性和正则性等是人们研究的热点.本文主要研究椭圆方程障碍问题在欧氏空间和微分流形空间中弱解和很弱解的正则性以及比较原理.第一章绪论阐述了椭圆方程的应用背景以及近些年来的研究成果.从各向同性椭圆方程单边障碍问题的很弱解到各向同性椭圆方程双边障碍问题的很弱解,从各向异性椭圆方程边值问题的弱解到各向异性椭圆方程单边障碍问题的弱解,人们取得了很多成果.本文在已有结果的基础上,提出了待解决的问题并给出了研究方法.第二章主要研究了一类拟线性椭圆方程-div A（x,?u）=B（x,u,?u）的双边障碍问题弱解的局部正则性.通过构建适合各向异性双边障碍问题的检验函数,使用各向异性的逆H?lder不等式和Sobolev不等式,得到了各向异性的非齐次拟线性椭圆方程双边障碍问题弱解的局部正则性.第三章主要研究了齐次椭圆方程-div（A（x,u）Du）=0的单边障碍问题弱解的性质,其中A（x,u）是不连续的VMO系数.通过使用A-调和逼近方法和含有障碍函数的Caccipoli不等式,最后得到在A（x,u）为不连续系数时,各向同性齐次椭圆方程弱解的积分估计式.第四章主要研究了非齐次椭圆方程-div A（x,?u）=f（x,u）的很弱解的比较原理.通过使用Mc Shane扩张引理构造Lipschitz连续检验函数,应用Sobolev嵌入定理,H?lder和Young不等式,得到各向同性椭圆方程很弱解的比较原理.第五章主要研究了微分形式椭圆方程d*A（x,dω（x））=B（x,ω（x）,dω（x））单边障碍问题很弱解的局部正则性,采用了微分形式下Hodge分解的方法,结合障碍问题的障碍函数构造适当的检验函数,使用逆H?lder不等式,得到了关于微分形式下椭圆方程单边障碍问题很弱解的局部正则性.
二、一类带奇异低阶项椭圆型方程的正则性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类带奇异低阶项椭圆型方程的正则性（论文提纲范文）
（1）Bessel算子及其相关算子研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 术语表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 二阶椭圆算子 |
| 1.2.2 Bessel算子 |
| 1.2.3 Schrodinger算子 |
| 1.3 本文的主要研究内容 |
| 2 二阶椭圆算子的Kato平方根算子交换子在R~n上的L~p梯度估计 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 [b,(?)]的L~p梯度估计 |
| 2.3 附录 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 与Bessel算子相关的平方根算子和平方根型平方函数的有界性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 与△_λ有关的平方根和平方根型平方函数 |
| 3.2.1 △_λ的L~p梯度估计 |
| 3.2.2 gΔ_λ的L~p有界性和弱(1,1)有界性 |
| 3.2.3 gΔ_λ的H~1→L~1有界性 |
| 3.3 与S_λ有关的平方根以及平方根型平方函数 |
| 3.3.1 S_λ的平行结论 |
| 3.3.2 S_λ的BMO_+有界性 |
| 3.4 平方根型平方函数正则性估计 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 与Bessel算子相关的平方函数交换子的有界性和紧性刻画 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 [b,gΔ_λ]的L~p-有界性刻画BMO空间 |
| 4.3 [b,gΔ_λ]的紧性刻画CMO空间 |
| 4.3.1 CMO空间等价刻画:充分性 |
| 4.3.2 CMO空间等价刻画:必要性 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 广义Schrodinger算子平方函数的端点估计 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 新BMO空间的定义 |
| 5.3 [b,g(?)]在新BMO上的有界性 |
| 5.4 本章小结 |
| 6 广义Schrodinger算子交换子的L~p有界性和紧性 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.2 主要结论 |
| 6.2.1 [b,▽(?)~(-1/2)]的L~p有界性 |
| 6.2.2 [b,(?)~(-1/2)▽]的L~p紧性 |
| 6.3 本章小结 |
| 7 总论和展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及在学研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（2）含对流项和奇异非线性项的椭圆方程解的存在性和正则性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究现状 |
| 1.2 基础知识 |
| 第2章 含奇异低阶项和对流项的椭圆方程解的存在性和正则性 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 近似问题及相关结论 |
| 2.3 主要结论及证明 |
| 第3章 含低阶项和对流项的椭圆方程解的存在性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 主要结果及证明 |
| 参考文献 |
| 硕士期间研究成果 |
| 致谢 |
（3）一类半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 背景及意义 |
| 1.2 国内外的研究进展 |
| 1.3 本文的主要结论 |
| 1.4 文章的主要结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 椭圆型偏微分方程的重要定理 |
| 2.2 上下解方法 |
| 2.3 唯一延拓定理 |
| 2.4 一类奇异扰动问题的估计 |
| 2.5 半空间上解的唯一性引理 |
| 第3章 Dirichlet问题的讨论 |
| 3.1 p的存在性与唯一性 |
| 3.2 解的存在性和唯一性 |
| 3.3 球形区域 |
| 3.4 一般区域 |
| 第4章 Robin问题的讨论 |
| 4.1 解的唯一性 |
| 4.2 内部估计 |
| 4.3 更精细的估计 |
| 4.4 定理1.4的证明 |
| 4.5 一般区域的探讨 |
| 第5章 一般区域上非线性Neumann问题的讨论 |
| 5.1 解的唯一性 |
| 5.2 解的一致有界性 |
| 5.3 内部估计 |
| 5.4 边界估计 |
| 5.5 解在边界具体的渐近展开式 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 附录A |
| A.1 半空间上的唯一性 |
| A.2 常微分方程解的性质 |
| A.3 Φ(0)的具体计算 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读学位期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
（4）两类微分方程拟周期解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 预备知识 |
| §1.2 Hamiltonian系统与反转系统 |
| §1.2.1 Hamiltonian系统 |
| §1.2.2 反转系统 |
| §1.3 KAM理论简介 |
| §1.3.1 Liouville可积系统 |
| §1.3.2 Birkhoff正规形 |
| §1.3.3 经典的KAM理论 |
| §1.4 问题的提出 |
| §1.4.1 拟周期驱动谐振子方程 |
| §1.4.2 椭圆方程 |
| 第二章 具有多维Liouvillean频率的拟周期驱动反转系统的Stoker问题 |
| §2.1 主要结论 |
| §2.2 空间与范数 |
| §2.3 抽象的有限维反转系统的KAM定理 |
| §2.4 同调方程 |
| §2.4.1 技术性引理 |
| §2.4.2 同调方程的近似解 |
| §2.5 KAM迭代 |
| §2.5.1 有限次迭代 |
| §2.5.2 无穷次迭代 |
| §2.5.3 收敛性 |
| §2.5.4 测度估计 |
| §2.6 定理2.1的证明 |
| 第三章 非线性椭圆方程解的存在性 |
| §3.1 主要结果的陈述 |
| §3.2 函数空间 |
| §3.3 非共振情况 |
| §3.3.1 解析情况 |
| §3.3.2 有限可微情况 |
| §3.4 不适定发展方程 |
| §3.5 时间依赖的中心流形方法 |
| §3.5.1 定义空间 |
| §3.5.2 线性项分析 |
| §3.5.3 定理3.4的证明 |
| §3.6 附录 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读博期间发表和完成的论文 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（5）二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题来源 |
| 1.2 二维等截面直管中瑞利流的跨音激波稳定性问题及主要结果 |
| 1.2.1 瑞利流的跨音激波稳定性问题 |
| 1.2.2 主要结果 |
| 1.3 二维等截面直管道中带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流稳定性问题及主要结果 |
| 1.3.1 带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流的稳定性问题 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 第二章 符号说明与基础知识 |
| 2.1 符号说明 |
| 2.2 基础知识 |
| 第三章 一维定常特解及其性质 |
| 3.1 热交换问题的一维定常特解 |
| 3.1.1 求解情形(A)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.1.2 求解情形(B)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.2 求解添质问题一维定常亚音速特解的常微分方程组 |
| 3.2.1 亚音速特解 |
| 第四章 热交换对跨音激波稳定性的影响 |
| 4.1 问题(P)的转化 |
| 4.1.1 在Lagrange坐标中的问题(P) |
| 4.1.2 特征分解 |
| 4.1.3 自由边值问题(FB)的线性化 |
| 4.2 具有非局部边界条件的线性椭圆-双曲耦合型方程组 |
| 4.2.1 唯一性和S-条件 |
| 4.2.2 先验估计 |
| 4.2.3 解的存在性 |
| 4.3 定理4.1的证明 |
| 4.3.1 迭代集合 |
| 4.3.2 非线性映射τ |
| 4.3.3 τ的压缩性 |
| 第五章 添质对亚音流稳定性的影响 |
| 5.1 分解引理 |
| 5.1.1 添质问题的分解引理 |
| 5.2 压强的方程与边界条件和等价问题Ⅱ |
| 5.2.1 化简压强p的方程和进口处的边界条件 |
| 5.2.2 线性化和等价问题Ⅲ |
| 5.3 典型问题 |
| 5.3.1 典型问题1: 总焓和熵满足的变系数输运方程组的Cauchy问题 |
| 5.3.2 典型问题2: 压强p的带有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题 |
| 5.3.3 典型问题3: 在截面上切向速度v满足的常微分方程两点边值问题 |
| 5.4 迭代格式 |
| 5.4.1 构造迭代映射τ |
| 5.4.2 τ的压缩性 |
| 5.4.3 映射τ在X_(Mε)中存在唯一不动点 |
| 5.4.4 提升切向速度v关于法向的正则性 |
| 第六章 附录 |
| 6.1 线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性 |
| 6.2 x向异性Holder空间 |
| 6.3 定理5.1的证明 |
| 第七章 后续工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在学期间的科研成果 |
（6）惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 临界修正Leray-α模型的惯性流形 |
| 1.1.1 研究背景及研究现状 |
| 1.1.2 研究方法及主要内容 |
| 1.2 空间平均原理延拓及其应用 |
| 1.2.1 研究背景及动机 |
| 1.2.2 解决的关键问题 |
| 1.3 一类奇异非自治抛物方程的惯性流形 |
| 1.3.1 研究动机 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 1.4 文章结构安排 |
| 1.5 展望 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 本文记号 |
| 2.2 不等式 |
| 2.3 重要引理 |
| 第三章 临界修正Leray-α模型的惯性流形 |
| 3.1 基本知识 |
| 3.2 先验估计 |
| 3.2.1 稳态解的H~2估计 |
| 3.2.2 解的H~2估计 |
| 3.2.3 渐近正则性:H~4估计 |
| 3.3 适定性和全局吸引子 |
| 3.4 关于IM的抽象结果 |
| 3.5 IM的存在性 |
| 3.5.1 截断非线性项 |
| 3.5.2 主要结果的证明 |
| 第四章 空间平均原理延拓及其应用 |
| 4.1 基本知识和抽象模型 |
| 4.2 惯性流形和锥不变性 |
| 4.3 空间平均方法与强锥条件 |
| 4.4 截断过程 |
| 4.5 空间平均:周期边界条件 |
| 4.6 应用 |
| 4.6.1 标量反应扩散方程 |
| 4.6.2 Cahn-Hilliard型方程 |
| 4.6.3 修正的Navier-Stokes方程 |
| 第五章 奇异非自治反应扩散方程的惯性流形 |
| 5.1 适定性和吸引子 |
| 5.1.1 全局适定性 |
| 5.1.2 拉回H-吸引子 |
| 5.2 惯性流形与渐近强锥条件 |
| 5.2.1 主要结果的证明 |
| 5.3 应用 |
| 5.3.1 奇异扩散反应扩散方程 |
| 5.3.2 带奇异系数的Lotka-Volterra竞争模型 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 6.1 发表的文章 |
| 6.2 完成的文章 |
| 致谢 |
（7）一类椭圆方程弱解的梯度估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景意义及国内外研究现状 |
| 1.2 研究方案 |
| 1.2.1 研究目标 |
| 1.2.2 研究内容 |
| 1.2.3 关键问题和创新点 |
| 1.3 论文结构安排 |
| 1.4 记号约定 |
| 第2章 相关预备知识和基本性质 |
| 2.1 自然增长条件 |
| 2.2 障碍问题 |
| 2.3 Orlicz空间理论 |
| 2.4 一个重要引理 |
| 2.5 基本不等式 |
| 第3章 自然增长条件下的非齐次A-调和方程弱解的梯度估计 |
| 3.1 引言及主要结论 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 主要定理的证明 |
| 3.3.1 假设条件下定理3.2的证明 |
| 3.3.2 逼近 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 一类A-调和方程障碍问题弱解的梯度估计 |
| 4.1 引言及主要结论 |
| 4.2 预备引理 |
| 4.2.1 新标准化方法 |
| 4.2.2 迭代覆盖过程 |
| 4.3 主要定理的证明 |
| 4.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间研究成果 |
（8）复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 传统数值计算方法面临的困难 |
| 1.2.1 经典数值方法简述 |
| 1.2.2 小波数值方法的发展 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 小波基函数的基础理论 |
| 2.1 小波多分辨率分析 |
| 2.1.1 多分辨率分析基础 |
| 2.1.2 滤波器系数组的构造 |
| 2.2 广义Coiflets小波基函数 |
| 2.2.1 基函数展开与函数值计算 |
| 2.2.2 积分值的改进计算方法 |
| 2.3 本章的总结 |
| 第三章 强非线性问题的Coiflet小波逼近 |
| 3.1 有限区间上的Coiflet小波逼近格式 |
| 3.1.1 一维基本逼近格式与边界条件施加 |
| 3.1.2 任意阶次边界延拓插值公式与二维实现 |
| 3.2 强非线性问题高精度小波Richardson外推配点方法 |
| 3.2.1 小波外推格式与非线性算子作用法则 |
| 3.2.2 邻近节点内插技术 |
| 3.3 强非线性问题的积分型Coiflet小波逼近格式 |
| 3.3.1 在标准化区间上的小波积分型离散格式 |
| 3.3.2 从简单区间推广到一般区间的考虑 |
| 3.4 本章的总结 |
| 第四章 复杂区域内求解的小波方法 |
| 4.1 任意区域上的嵌入型网格技术 |
| 4.1.1 小波方法的积分节点 |
| 4.1.2 复杂区域上的小波格式 |
| 4.2 边界条件代入与细节调整 |
| 4.2.1 导入不同边界条件的直接形式 |
| 4.2.2 选取合适的参数。 |
| 4.3 时域求解的小波多步方法 |
| 4.3.1 小波隐式多步方法 |
| 4.3.2 小波显式预测-校正算法 |
| 4.4 本章的总结 |
| 第五章 小波方法在边值与初值问题求解的应用 |
| 5.1 强非线性方程的小波解法 |
| 5.1.1 求解p-Laplacian方程 |
| 5.1.2 小波Richardson配点法求解非线性方程 |
| 5.2 不规则二维区域上的小波方法应用 |
| 5.2.1 非线性Poisson方程的求解 |
| 5.2.2 直杆扭转问题 |
| 5.2.3 薄板弯曲问题 |
| 5.3 动态问题的小波多步方法应用 |
| 5.3.1 常微分方程的示例 |
| 5.3.2 偏微分方程的示例 |
| 5.4 本章的总结 |
| 第六章 结束语 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（9）几类分数阶椭圆方程组和积分方程组解的定性分析（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.1.1 分数阶拉普拉斯方程研究现状 |
| 1.1.2 积分方程和方程组解的定性分析问题 |
| 1.1.3 移动平面法 |
| 1.1.4 滑动方法 |
| 1.2 本文主要研究工作 |
| 第二章 拉普拉斯方程和分数阶拉普拉斯方程极值原理的研究 |
| 2.1 研究背景 |
| 2.2 拉普拉斯方程极值原理研究 |
| 2.2.1 拉普拉斯方程极值原理叙述 |
| 2.2.2 拉普拉斯方程极值原理证明 |
| 2.3 分数阶拉普拉斯方程极值原理研究 |
| 2.3.1 分数阶拉普拉斯方程极值原理叙述 |
| 2.3.2 预备知识 |
| 2.3.3 分数阶拉普拉斯方程极值原理证明 |
| 第三章 非线性积分方程组非负解的定性研究 |
| 3.1 研究背景及预备知识 |
| 3.2 非线性项具有齐次度性质情形 |
| 3.3 非线性项表示为具有齐次度性质的函数的求和形式 |
| 3.4 非线性项具有一般单调性条件 |
| 第四章 分数阶拉普拉斯方程组解的单调性和唯一性 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 有界区域中解的单调性分析 |
| 4.3 无界区域中解的单调性分析 |
| 第五章 问题回顾与展望 |
| 参考文献 |
| 附录一 作者读博士期间发表和录用论文情况 |
| 附录二 致谢 |
（10）椭圆方程障碍问题解的性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 国内外研究现状 |
| 1.2 本文主要工作和安排 |
| 第2章 各向异性椭圆方程双边障碍问题解的正则性 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 引理和主要结果 |
| 2.3 定理的证明 |
| 第3章 带VMO系数椭圆型方程障碍问题弱解的性质 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 引理和主要结果 |
| 3.3 定理的证明 |
| 第4章 非齐次椭圆方程很弱解的比较原理 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 引理和主要结果 |
| 4.3 定理的证明 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 微分形式椭圆方程障碍问题很弱解的正则性 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 引理和主要结果 |
| 5.3 定理的证明 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 作者在读期间发表的学术论文及参加的科研项目 |
四、一类带奇异低阶项椭圆型方程的正则性（论文参考文献）
- [1]Bessel算子及其相关算子研究[D]. 陶文宇. 北京科技大学, 2021(08)
- [2]含对流项和奇异非线性项的椭圆方程解的存在性和正则性[D]. 和小华. 西北民族大学, 2021(08)
- [3]一类半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题[D]. 冒钱城. 中国科学院大学(中国科学院精密测量科学与技术创新研究院), 2021(01)
- [4]两类微分方程拟周期解的存在性[D]. 许晓丹. 山东大学, 2021(11)
- [5]二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析[D]. 高俊磊. 华东师范大学, 2021(08)
- [6]惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用[D]. 李新华. 兰州大学, 2020(04)
- [7]一类椭圆方程弱解的梯度估计[D]. 张雅楠. 华北理工大学, 2020(02)
- [8]复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法[D]. 徐聪. 兰州大学, 2020(01)
- [9]几类分数阶椭圆方程组和积分方程组解的定性分析[D]. 吕英姝. 上海交通大学, 2020(01)
- [10]椭圆方程障碍问题解的性质[D]. 杨超. 杭州电子科技大学, 2020(02)