判定矩阵相似论文摘要
问：如何判断两个矩阵相似
- 答：答：根据题目知道A是对角矩阵，找A的相似对角矩阵。
一个矩阵相似对角阵的充分必要条件是：ni重特征值λ的特征向量有ni个。即r(λiE-A)=n-ni
根据原理我们求ABCD的特征值为：
特征值1为2重特征值，其对于的矩阵（E-A）的秩，r(E-A)=3-2=1
选项A，r(E-A)=2
选项B，r(E-A)=2
选项C，r(E-A)=1
选项D，r(E-A)=2
所以答案选择C
扩展知识：
相似矩阵的定义是：
设
A,B
都是
n
阶矩阵，若有可逆矩阵
P
，使
P^{-1}AP=B
则称
B
是
A
的相似矩阵，或说
A
和
B
相似。
特征向量：
矩阵A线性变换后，有某一些向量仍然在变后的空间保持原有的方向，只是这些向量被拉伸或者压缩的了，称为特征向量。
特征值：
矩阵进行同一个维度的空间线性变换后，保持方向不变的特征向量的拉伸或者压缩的倍数即是特征值， （验证在文末，参照“备注验证B”） - 答：如果给定两个具体的n阶方阵A和B,A和B相似的充要条件是λ－矩阵λI－A和λI－B相抵,这个只要对λ－矩阵做初等变换就可以判定
如果给定两个具体的n阶实对称矩阵A和B,要判定是否合同只要把它们都化到合同标准型就行了,尽管此时相似是合同的充分条件,但判定相似代价要大不少
问：判断两个矩阵是否相似的方法?
- 答：这得从矩阵相似的定义说起。
相似的定义为：对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似.
从定义出发,最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C.
进一步地,如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值.
再进一步,如果A、B均为实对称矩阵,则它们必可相似对角化,可以直接计算特征值加以判断（与2情况不同的是：2情况必须首先判断A、B可否相似对角化）.
A、B相似的等价条件还有：
A、B均为n阶方阵,则以下命题等价：
(1)A~B;
(2)λE-A≌λE-B
(3)λE-A与λE-B有相同的各阶行列式因子
(4)λE-A与λE-B有相同的各阶不变因子
(5)λE-A与λE-B有相同的初等因子组
问：如何快速判断两个矩阵是否相似？谢谢
- 答：分别求出行列式因子，如果相同则相似；
或者分别求出不变因子，如果相同则相似； - 答：判断方法
：判断两个矩阵是否相似的辅助方法：（1）判断特征值是否相等；
（2）判断行列式是否相等；
（3）判断迹是否相等；
（4）判断秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。
两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。 - 答：先求三者的特征值，再通过求出特征向量的秩，秩相同的相似，题目中b、c相似，a不相似
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